個人住民税の特別徴収は、事業主が所得税の源泉徴収と同じように、従業員に代わって、毎月の給与から差し引いて納付する制度です。

5月31日までに「特別徴収税額の（決定）通知書」が届いているかと思います。
それに従って6月に支払う給与から控除するようにしましょう。

また6月10日は、納期の特例を適用している場合の半期の納期限です。
12月から5月まで給与から天引きした分を忘れずに納付しましょう。